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Mag 24

Bottiglia di Klein

Un oggetto curioso, come il nastro di Möbius che è una varietà di dimensione 2 non orientabile: sul nastro di Möbius una formica che parte da un certo punto del nastro, cammina cammina e si ritroverà nello stesso punto (perché il nastro è chiuso) ma dall’altra faccia del nastro.

Come farsi un nastro di Möbius in casa, stile ArtAttack: prendete un foglio di carta A4, un paio di forbici e della “colllla vinilica”. Tagliate una strisciolina larga 5 cm nel senso della lunghezza. Fatto? Bene! Prendete in mano la strisciolina tenendola per i lati corti e fate ruotare un lato di mezzo giro come quando si scartano le caramelle. Fatto? Bene! Adesso unite i due lembi e attaccateli con la “colllla vinilica”, ed avrete il vostro nastro di Möbius fatto in casa! 🙂

La bottiglia di Klein è un oggetto simile ma un po’ più complicato. Il filmato spiega bene come ci si possa costruire una bottiglia di Klein in casa, ma non bastano carta, forbici e colla vinilica. Si parte da un cilindro che però deve autointersecarsi vivendo noi in uno spazio a 3 dimensioni. Se fossimo in uno spazio a 4 dimensioni potremmo anche farlo senza che si autointersechi, ma questo è Universo 2.0.

La stranezza di questa bottiglia, dotata di una auto-intersezione, è che non ha un dentro ed un fuori. Mentre la distinzione tra dentro e fuori, nello spazio tridimensionale, è supportata dall’esperienza – normalmente sappiamo distinguere tra il dentro ed il fuori di un pallone da calcio: se vogliamo entrarci dentro, dobbiamo fare un buco -, essa invece non è così chiara in questo oggetto, visto che con continuità possiamo passare dall’esterno all’interno senza dover bucare la superficie.

Questa animazione al computer (quanta grazia i computer in queste cose! Fossero vivi Klein e Poincaré…) spiega come si costruisca una bottiglia di Klein a partire da un cilindro elastico (sulla indicazione dello stesso Felix Klein).

Inoltre, sezionando la bottiglia di Klein, si passa per deformazione continua (diffeomorfismo) ad un nastro di Moebius. Oppure, incollando due nastri si ottiene la bottiglia. Anche la bottiglia di Klein è una superficie (una varietà) di dimensione 2 non orientabile. Tutto visibile nell’animazione.

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